בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: מרובע ABCD ומשולש שווה שוקיים3 יחידות 372 · שיעור 19
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מרובע ABCD. הקודקוד A מונח על ציר ה־y והקודקוד B מונח על ציר ה־x. הצלע BC מאונכת לצלע AB.
משוואת הצלע AB היא y = −13x + 2.
א. מצאו את שיעורי הקודקודים A ו־B.
ב. מצאו את משוואת הצלע BC.
הצלע CD מקבילה לציר ה־x. נתון: D(3 , 6).
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
הנקודה E היא אמצע הצלע BC.
ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה E.
(2) הראו כי המשולש EDC הוא שווה שוקיים.
ה. חשבו את היקף המשולש EDC.
סעיף א – שיעורי A ו־B
הקודקוד A על ציר ה־y, ולכן נציב x = 0 במשוואת AB:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
y = −13x + 2
נציב x = 0:
y = −13 · 0 + 2 = 2
A(0 , 2)
הקודקוד B על ציר ה־x, ולכן נציב y = 0:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
x = 0
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
סעיף א – שיעורי A ו־B · המשך
הקודקוד B על ציר ה־x, ולכן נציב y = 0:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = −13x + 2
נציב y = 0:
0 = −13x + 2
13x = 2
x = 6
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
סעיף א – שיעורי A ו־B · המשך
x = 6
B(6 , 0)
✅ פתרון סופי: A(0 , 2) , B(6 , 0)
סעיף ב – משוואת BC
שיפוע הצלע AB הוא המקדם של x במשוואה:
📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר
mAB = −13
BC מאונכת ל־AB, ולכן מכפלת השיפועים היא −1:
📐 כלל: ישרים מאונכים
mAB · mBC = −1
נציב mAB = −13:
−13 · mBC = −1
📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר
y = mx + n
המקדם של x הוא השיפוע m
המקדם של x הוא השיפוע m
📐 כלל: ישרים מאונכים
m1 · m2 = −1
סעיף ב – משוואת BC · המשך
−13 · mBC = −1
mBC = 3
הישר BC עובר דרך B(6 , 0):
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
נציב m = 3 , x1 = 6 , y1 = 0:
y − 0 = 3(x − 6)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
סעיף ב – משוואת BC · המשך
y − 0 = 3(x − 6)
y = 3x − 18
✅ פתרון סופי: y = 3x − 18
סעיף ג – שיעורי C
CD מקבילה לציר ה־x ועוברת דרך D(3 , 6), ולכן משוואתה:
📐 כלל: ישר מקביל לציר ה־x
y = 6
C היא נקודת המפגש של CD עם BC. נציב y = 6 במשוואת BC:
📐 כלל: מפגש שני ישרים
y = 3x − 18
נציב y = 6:
6 = 3x − 18
📐 כלל: ישר מקביל לציר ה־x
y = k
לכל הנקודות על הישר אותו שיעור y
לכל הנקודות על הישר אותו שיעור y
📐 כלל: מפגש שני ישרים
פותרים את מערכת שתי המשוואות
סעיף ג – שיעורי C · המשך
6 = 3x − 18
3x = 24
x = 8
C(8 , 6)
✅ פתרון סופי: C(8 , 6)
סעיף ד (1) – שיעורי E
E אמצע הצלע BC, כאשר B(6 , 0) ו־C(8 , 6):
📐 נוסחה: אמצע קטע
xE = x1 + x22
נציב x1 = 6 , x2 = 8:
xE = 6 + 82 = 142 = 7
yE = y1 + y22
נציב y1 = 0 , y2 = 6:
📐 נוסחה: אמצע קטע
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
סעיף ד (1) – שיעורי E · המשך
נציב y1 = 0 , y2 = 6:
yE = 0 + 62 = 62 = 3
E(7 , 3)
✅ פתרון סופי: E(7 , 3)
סעיף ד (2) – משולש EDC שווה שוקיים
נחשב את אורכי שלוש הצלעות של המשולש, עם E(7 , 3), D(3 , 6), C(8 , 6):
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
ED = √((xE − xD)2 + (yE − yD)2)
נציב E(7 , 3) , D(3 , 6):
ED = √((7 − 3)2 + (3 − 6)2)
ED = √(16 + 9) = √25 = 5
EC = √((xE − xC)2 + (yE − yC)2)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
d = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
סעיף ד (2) – משולש EDC שווה שוקיים · המשך
EC = √((xE − xC)2 + (yE − yC)2)
נציב E(7 , 3) , C(8 , 6):
EC = √((7 − 8)2 + (3 − 6)2)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
EC = √(1 + 9) = √10
הצלע DC מקבילה לציר ה־x, ולכן אורכה הוא ההפרש בין שיעורי ה־x:
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
DC = √((xC − xD)2 + (yC − yD)2)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
d = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
d = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
סעיף ד (2) – משולש EDC שווה שוקיים · המשך
DC = √((xC − xD)2 + (yC − yD)2)
נציב C(8 , 6) , D(3 , 6):
DC = √((8 − 3)2 + (6 − 6)2)
DC = √25 = 5
קיבלנו ED = DC = 5, כלומר שתי צלעות שוות:
📐 הגדרה: משולש שווה שוקיים
📐 הגדרה: משולש שווה שוקיים
משולש שבו שתי צלעות שוות זו לזו
סעיף ד (2) – משולש EDC שווה שוקיים · המשך
✅ פתרון סופי: ED = DC = 5, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים ✓
סעיף ה – היקף המשולש EDC
נחבר את שלוש הצלעות שמצאנו בסעיף ד (2):
📐 הגדרה: היקף משולש
P = ED + DC + EC
נציב ED = 5 , DC = 5 , EC = √10:
P = 5 + 5 + √10
P = 10 + √10 ≈ 13.16
✅ פתרון סופי: 10 + √10 (בערך 13.16)
📐 הגדרה: היקף משולש
היקף = סכום שלוש הצלעות
📌 סיכום התשובות
א
A(0 , 2) , B(6 , 0)
ב
y = 3x − 18
ג
C(8 , 6)
ד (1)
E(7 , 3)
ד (2)
ED = DC = 5
ה
10 + √10
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא